Науково-дослідна робота
Застосування стохастичних, статистичних та функціональних методів для аналізу асимптотичної поведінки випадкових полів

Керівник дослідження: Клесов Олег Іванович, д. ф.-м. н., проф. 

Номер державної реєстрації: 0118U003614 

Номер облікової картки заключного звіту: 0221U100549

Підстава для проведення роботи: 

Накази МОН № 1104 від 31.07.2017 р. та № 64 від 25.01.2018 р. 

Наказ «КПІ ім. Ігоря Сікорського» №2-19 від 25.01.2018 

Термін виконання: початок – 01.01.2018, закінчення – 31.12.2020.

Робота спрямована на дослідження асимптотичної поведінки випадкових полів та функціоналів від них, а також застосуванні отриманих результатів до теорії випадкових процесів, статистики випадкових процесів, математичного аналізу та математичної фізики.  

Мета роботи – вивчення асимптотичних властивостей випадкових полів, як функціоналів від узагальнених множин відновлення, які виникають у дослідженнях екскурсій, екстремумів, розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь та рівнянь у частинних похідних, статистичних оцінках параметрів прихованих періодичностей. 

Завдання 2018

    1. Вивчення асимптотичної поведінки узагальнених множин відновлення.
    2. Встановлення граничних теорем для багатовимірних множин відновлення.
    3. Встановлення функціональних граничних теорем для множин відновлення.
    4. Встановлення підсилених законів великих чисел та законів повторного логарифму для множин відновлення. 

Завдання 2019

    1. Застосування концепції дуальних об’єктів для знаходження асимптотичної поведінки випадкових процесів та полів.
    2. Описання структури монотонних функцій з невиродженою групою регулярних точок.
    3. Вивчення псевдорегулярних функцій з невиродженою групою регулярних точок для кількох аргументів.
    4. Дослідження асимптотичної поведінки розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь. 

Завдання 2020

    1. Дослідження асимптотичної динаміки рекордних множин. 
    2. Встановлення повної збіжності деяких функціоналів від випадкових полів.  
    3. Вивчення асимптотичної поведінки статистичних оцінок невідомих параметрів випадкових полів.
    4. Дослідження питання про розв’язність початково-крайових задач для рівнянь математичної фізики.

Очікувані результати

    • Умови, за яких має місце рівномірна збіжність випадкових множин. 
    • Граничні теореми для багатовимірних множин відновлення, зокрема аналоги закону великих чисел у формі Марцинкевича-Зігмунда та закону повторного логарифма у термінах включень множин та у метричних термінах, використовуючи метрики Хаусдорфа та Фреше-Нікодима. 
    • Функціональні граничні теореми для радіальних функцій, що описують форму множин відновлення; центральна гранична теорема у метриці Хаусдорфа. 
    • Підсилені закони великих чисел для випадкових множин; функціональні закони повторного логарифму для випадкових множин. 
    • Особливості структури монотонних функцій з невиродженою групою регулярних точок; нові властивості правильно змінних послідовностей. 
    • Зображення для псевдорегулярних функцій кількох змінних; нові властивості псевдорегулярних функцій з невиродженою групою регулярних точок для кількох аргументів.
    • Нові асимптотичні властивості розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь; точні порядки зростання розв’язків стохастичних диференціальних рівнянь з псевдорегулярними функціями.
    • Критерії швидкості збіжності у підсиленому законі великих чисел та критерії повної збіжності сум елементів випадкових величин. 
    • Нові асимптотичні властивості статистичних оцінок; умови, за яких має місце строга конзистентність оцінок параметрів прихованих періодичностей. 
    • Нові застосування псевдорегулярних функцій для рівнянь математичної фізики, зокрема параболічних рівнянь у просторах Хермандера.